Laboratorio de apuestas: moneda

Una moneda justa decide la ronda: si sale cara gana el jugador y su capital sube; si sale cruz gana la máquina y el capital del jugador baja. Verde significa jugador; rojo significa máquina.

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juego justo
Rondas0
Capital0,00 €
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Máquina / cruces0
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Máquina
0%

Trayectoria del capital

línea punteada: teoría
0 jugadas Media observada: 0,000 €/jugada

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Modelo probabilístico

Definimos la variable aleatoria \(X\) como la variación del capital del jugador en una jugada.

\[ X=\begin{cases} U, & \text{si sale cara: gana el jugador} \\ -P, & \text{si sale cruz: gana la máquina} \end{cases} \]

Como la moneda es justa, las dos probabilidades son iguales:

\[ \mathbb{P}(X=U)=\frac{1}{2}, \qquad \mathbb{P}(X=-P)=\frac{1}{2} \]

El signo es importante: verde significa que aumenta el capital del jugador; rojo significa que aumenta el beneficio de la máquina y baja el capital del jugador.

Esperanza matemática y juego justo

La esperanza matemática por jugada, desde el punto de vista del jugador, es:

\[ E(X)=U\cdot\frac{1}{2}+(-P)\cdot\frac{1}{2} \]

Equivalente:

\[ E(X)=\frac{U-P}{2} \]

En forma de sumatorio:

\[ E(X)=\sum_{i=1}^{2} x_i p_i, \qquad x_1=U,\; x_2=-P,\; p_1=p_2=\frac{1}{2} \]

Por tanto, el juego es justo cuando:

\[ E(X)=0 \Longleftrightarrow U=P \]
  • Si \(U>P\), entonces \(E(X)>0\): ventaja para el jugador.
  • Si \(U
  • Si \(U=P\), entonces \(E(X)=0\): juego justo.
Qué observar en clase
  • Con pocas jugadas puede ganar cualquiera, incluso en un juego desfavorable.
  • Con muchas jugadas, la media observada por jugada suele acercarse a la esperanza teórica \(E(X)\).
  • Una esperanza negativa pequeña puede quedar escondida durante un rato, pero termina inclinando la trayectoria hacia valores negativos.
  • La línea punteada representa la predicción teórica: si es verde favorece al jugador; si es roja favorece a la máquina.